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08 并非我们熟知的数 Numbers but Not As We Know Them（第3页）

那么，将你的区域中所有点都乘上z的总效果是扩展区域，并绕极点旋转。

新的区域将和之前的有同样的形状，但取决于r的大小，会有不同的尺寸，同时将会有一个不同的姿态，这是由旋转角θ决定的。

其他结果

复数有极多的应用，甚至是在很基础的层次上。

直角坐标和极坐标的相互转换将三角函数引入了进来，这种应用方式既令人惊讶又有很多优点。

例如，推导重要的三角恒等式是一道标准的学生习题，而在用了极坐标后这些等式是十分自然的结论，取任意单位模（即r=1）的复数，用直角坐标和极坐标分别计算它的某次幂，令这两种形式的答案相等，这就给出了一个三角方程。

由基本的三角学可知，极坐标为（1，θ）的点的直角坐标是（θ）。

如果我们现在将两个这样的复数z=θ和w=φ在直角坐标中相乘，可得：

zw=（cosθθsinφ）+i（φ+sinθcosφ）.

同样的乘法在极坐标中给出：

对比该乘积的两个版本的实部和虚部，就可以轻松得到三角学中标准的和角公式：

或者，极坐标形式的复乘法可以由这些三角公式推导出。

实际上，我们在这里未经证明就给出了极坐标形式下的乘法，它通常是将三角公式应用于直角坐标形式来推导出的。

复数和矩阵

乘以i代表绕复平面的中心转动一个直角，让我们来仔细研究一下这个事实所导致的一些结果。

若z=x+iy，展开括号和对乘法重新排序，可得i（x+iy）=-y+ix，因此点（x，y）经过这个旋转变成了（-y，x），见图15。

这样，乘以i可以看作在平面上对点操作。

这一操作有一个特殊性质，即对于任意两点z和w，以及任意实数a，我们有i（z+）=a（iw）。

另外，如果我们将一个实数a乘上一个复数（x+iy），我们得a（x+iy）=ax+i（ay）。

用复平面上的点来说，我们将（x，y）移动到了（ax，ay），或者用另一种方法写就是a（x，y）=（ax，ay）。

具有这两条性质的一类运算称为线性的（linear），它们在数学的所有领域都极其重要。

这里，我只希望提醒你注意一个事实，那就是这样一个运算L的效果完全由它在两个点（1，0）和（0，1）上的行为决定。

因为让我们假设L（1，0）=（a，b）和L（0，1）=（c，d），那么对于任何点（x，y），我们有（x，y）=x（1，0）+y（0，1），于是应用线性运算的性质，我们得到：

这些信息可以总结在所谓的矩阵方程（matrixequation）中：

这里我们举了矩阵相乘的一个例子，它展示了这样的运算在一般情况下如何进行。

矩阵（matrix）是由数组成的矩形阵列，它代表了另一种二维的数的对象。

矩阵渗透了高等数学的几乎所有领域，同时包括纯数学和应用数学。

它们代表了代数学中的一个重要部分。

矩阵已经被证明有用到什么程度呢？现代数学的很大一部分便是努力要将自己用矩阵的语言表达出来。

两个有相同行数和列数的矩阵可以逐项相加。

比如，要找到两个矩阵之和的第二行第三列的元素，我们只需要将两个矩阵中相应位置的元素相加。

不过，乘法赋予了矩阵一个新的重要特点，前面这个例子已经体现出了矩阵乘法的规则——积矩阵中的每个元素都是第一个矩阵的某行与第二个矩阵中的某列进行点乘（dotproduct）得到的。

这是说，第一个矩阵的某行元素与第二个矩阵的某列元素分别相乘后再相加。

矩阵遵循代数里通常的法则，除了乘法交换律（utativityofmultipli）。

也就是说对于两个矩阵A和B，一般来说AB=BA是不对的。

然而，矩阵乘法是可结合的（associative），这意味着书写任意长度的矩阵连乘时，不需要括号也不会引起歧义。

平面上的线性变换（liransformation）通常是指绕着原点的旋转、相对于通过原点的直线的反射、相对原点的扩大或收缩，以及所谓的剪切（shear，或者说搓，slanting）。